Feeds:
Tulisan
Komentar

Proyeksi Ortogonal Dipandang sebagai Aproksimasi

Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Q pada W yang jaraknya terdekat dengan P dapat diperoleh dengan memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W.

Ada cara lain untuk memahami gagasann tersebut. Pandang u sebagai sebuah vektor tetap yang hendak kita aproksimasikan dengan menggunakan dengan menggunakan sebuah vektor pada W. Setiap aproksimasi w semacam ini akan menghasilkan sebuah “vektor kesalahan ” (“error vector”)

u w

yang tidak dapat dijadikan sama dengan 0, terkecuali jika u terletak pada W. Akan tetapi, dengan memilih

w = projw u

kita dapat menjadikan panjang vektor kesalahan

||u w|| = ||u – projw u||

sekecil mungkin. Sehingga, kita dapat mendeskripsikan projw u sebagai “aproksimasi terbaik bagi u relatif terhadap vektor-vektor pada W.

Teorema 1.

Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V, dan jika u adalah sebuah vector pada V, maka projwu adalah aproksimasi terbaik bagi u pada W, dalam pengertian bahwa

||u – projW u||<||u – w||

Untuk setiap vektor w pada W yang bukan projw u.

Bukti.

dengan memakai teorema pythagoras:

|| u w ||2 = || u – projw u ||2 + || projw u w ||2

Jika w ≠ projw u, maka suku kedua dari penjumlahan di atas akan bernilai positif, sehingga

|| u w ||2 > || u – projw u ||2

Atau secara ekuivalen,

|| u w || > || u – projw u ||    

Masalah Kuadrat Terkecil. Jika diberikan sebuah sistem linear Ax = b yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, tentukan sebuah vektor x, jika mungkin, yang meminimalkan nilai ||Axb|| merujuk pada hasil kali dalam Euclidean pada Rm. Vektor semacam ini disebut sebagai solusi kuadrat terkecil (least square solution) dari Ax = b.

 

Untuk menyelesaikan permasalahan kuadrat terkecil, misalakan W adalah ruang vektor kolom dari A. Untuk setiap matriks x, n×1, hasilkali Ax adalah sebuah kombinasi linear dari vektor-vektor kolom dari A. Sehingga dengan bervariasinya nilai x di dalam Rn, vektor Ax juga akan bervariasi pada berbagai kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor kolom dari A; jelasnya, Ax bervariasi di seluruh ruang kolom W. Secara geometrik, menyelesaikan persoalan kuadrat terkecil berarti menentukan sebuah vektor x pada Rn, sedemikian rupa sehingga Ax merupakan vektor terdekat ke b di dalam W.

 

Sistem persamaan ATAx = ATb disebut sebagai sistem normal (normal system) yang diasosiasikan dengan Ax=b, dan tiap-tiap persamaan di dalam sisitem ini disebut persamaan normal (normal equation) yang diasosiasikan dengan Ax=b. Sehingga, permasalahan penentuan solusi kuadrat terkecil dari Ax=b dapat disederhanakan menjadi permasalahan penentuan solusi eksak dari sistem normal yang terkait.

 

Teorema 2

Untuk system linear sebarang Ax = b, sistem normal yang terkait

ATAx = ATb

Bersifat konsisten dan semua solusi dari sistem normal adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b. selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang dari Ax= b, maka proyeksi orthogonal b pada W adalah

Projw b = Ax

 

Keunikan Solusi Kuadrat Terkecil

Teorema 3

Jika A adalah sebuah matriks m x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

a)      A memiliki vector-vektor kolom yang bebas linier.

b)      ATA dapat dibalik.

 

Teorema 4

Jika A adalah sebuah matriks m x n yang memiliki vector-vektor kolom yang bebas linear, maka untuk setiap matriks b, m x 1, system linear Ax = b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh

X = (ATA)-1ATb

Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, maka proyeksi orthogonal b pada W adalah

Projw b = Ax = A(ATA)-1ATb

Definisi

Jika W adalah sebuah sub ruang dari Rm, maka transformasi P: Rm→ W yang memetakan setiap vector x pada Rm menjadi proyeksi ortogonalnya projw x pada W disebut sebagai proyeksi orthogonal Rm pada W.

 

 

Tutorial cara membuat grafik dengan Maple 9.5

Huuuh……buat grafik lewat maple tu susah yea…..???. Buangetzzzz…..

Tapi tenang za…saya kayaknya udah sedikt bisa tuch…kyknya…sech…

Mudah2n za ini bisa membantu yea………

Cara membuat grafik lewat maple sebagai berikut:

  1. Pertama-tama sobat harus buka maple dulu…Yea iyalah….msak buka yang laen…
  2. Stelah itu sobat klik menu Lanjut Baca »

Tutor untuk metode limit

I will tell you about how to make math VERY EASY….

Tutor untuk metode limit hampir sama dengan tutor untuk membuat grafik…(Dengan menggunakan maple)

Nich kyu kacih tau caranya…..

  1. First,sobat harus buka maple donk tentunye…jangan buka yang laen2…
  2. Kemudian klik menu tools, pilih calculus-single variable, lalu limit methods..lihat gambar di bawah ini..



3. Setelah itu akan muncul seperti gambar di bawah ini…. Lanjut Baca »

Dosen Matematika

Seorang dosen yang humoris dan memiliki gaya sendiri merupakan dosen fakultas MIPA. Dosen ini bernama Marwan M.Si. Dosen ini sangat mudah bergaul dengan mahasiswanya. Pada awalnya beliau tidak pernah bercita-cita menjadi dosen. Cita-cita beliau adalah menjadi wiraswasta. Hal ini diakibatkan oleh gaji yang diperoleh cukup besar. Tetapi takdir berkata lain, beliau mendapat pekerjaan sebagai dosen matematika di beberapa fakultas di Universitas Mataram. Beliau sangat mensyukuri pekerjaan yang didapat. Beliau tidak pernah menyesal atas pekerjaan yang didapat beliau. Pak marwan lahir di Seteluk ( Kabupaten Sumbawa Besar ) pada tanggal 5 oktober 1971. Beliau sekarang bertempat tinggal di JL. Kesra 8 No.18 Mataram. Beliau merupakan orang asli sumbawa. Pak marwan biasanya menghabiskan waktu senggang dengan bermain gitar sambil bernyanyi dan bermain catur. Beliau mengajarkan tentang matematika terapan. Pak marwan memiliki makanan favorit yaitu makanan khas daerah ( sumbawa ) terutama sepat.

Riwayat pendidikan beliau adalah: Lanjut Baca »

Heeey sobat semua……………
This will tell all of you about Gamatika Futsal Tournament (GFT).

GFT adalah salah satu pertandingan pada saat Dies natalis. GFT ini diketuai oleh Agus Kurniawan (wawan),dia adalah salah satu mahasiswa dari prodi Matematika. menurut ketua GFT, GFT kali ini selain bertujuan untuk memeriahkan dies natalis gamatika juga bertujan untuk Lanjut Baca »

Kakak yang keren and gaul ini namanya Budiman Firmansyah atau yang lebih akrab kita panggil ‘kak Boe’. Dia merupakan anak pertama dari satu bersaudara yang lahir di Mataram pada tanggal 4 april 1989.H. M, Fauzi dan Jurianah merupakan orang tua dari  Boe. Boe bertempat tinggal di karang masmas, RT 04 kelurahan monjok barat, Mataram. Hobi yang dimiliki  Boe adalah membaca buku-buku islami, bermain fudsal, dan bermain ps. Boe juga gemar mendengar lagu. Jenis lagu yang disukai Bang Boe adalah lagu-lagu religi, punk, dan dangdut terutama lagu yang dibawakan oleh H. Roma Irama. Boe memiliki riwayat pendidikan sebagai berikut: Lanjut Baca »

Satu lagi nich ketua gamatika kita. Dia adalah ketua gamatika pada angkatan 2008-2009,namanya adalah Lanjut Baca »